Банк данных

Диссертация

Автор: Самсонов, Максим Евгеньевич

Название: Методы построения квантовых твистов

Справка: Самсонов, Максим Евгеньевич. Методы построения квантовых твистов : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.04.02 Санкт-Петербург, 2006 71 c. : 61 06-1/705

Объем: 71 стр.

Информация: Санкт-Петербург, 2006

Введение:

Если не требовать вынолнение свойства (4), то Н называется биалгеброй

Замечательное свойство алгебр Хопфа заключается в том, что двойственное пространствотакже является алгеброй Хопфа [9], где двойственные онераторы определяются следующими равенствами на функционалах из Н*:А, б*(1) = е,S*f = fo S9Квазитреугольность связана с существованием специального элементанодчинящегося ряду условий, гарантирующих выполнение уравнения ЯнгаБакстера (универсального) занисываемого как равенство в Н Н <^ Н:= П23П13П12, (4)По определению, квазитреуголъпая алгебра Хопфа - это почти кокоммутативная алгебраг о Д(гс) = П^{х)П-^, (5)такая что(А <8) ЩП) = ТгхзТгзз, (id ® Д)(7г) = ТгхзТгха; (6)Из (5) и (6) автоматически следует (4)

В первом случае может быть получепа полпая классификация г—матриц согласно [4, 5] Классификация основана па попятии тройки Белавипа-Дрипфельда: (Г1,Г2,т), где Г1,Г2 подмпожества диаграммы Дыпкипа алгебрыЛи Q между которыми существует г изометрия, которая подчиняется условию пильпотептпости: т^{а) ^ Гх для любого корня а G Fi и некоторого к

Простейшая иллюстрация связи *—умножения и деформации при номош,итвистов, может быть дана на нримере умножения Мояла, когда соответствуюп1,ий твист может быть найден явно Явная формы твиста нозволяет вычислить *—умножение и применить его для ностроения некоммутативных теорийполя, это одна из мотиваций для поиска более сложных решений уравненияДринфельда (7) Для этого мы рассмотрим квантование Вейля и нростейшийслучай когда Л^ = Ж^ и скобка Пуассона дается своим обычным выражениемПереход к квантовой механике осуш,ествляется путем представления наблюдаемых алгеброй эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве 71, такчтобы канонические коммутационные соотношения в нуассоповой алгебре были согласованы с коммутацией онераторов:[Р, Q] = -ih idn (13)Задавшись (13) мы можем построить представление трехмерной алгебры Гейзенберга-Ли:[(^1, Х2, а), {уи 2/2, Ь)] = (О, О, Х1У2 - Х2У1)при помош,и отображенияф{х1, Х2, а) = XI • Р + Х2 • Q — гНа • \d%

Л Мr,s=O ^16гдеСравнивая нодынтегральные выражения в обеих частях (14), получаем явноевыражение для *—умножения:Если ввести бидифференциальный операторfh д д h д дто *—умножение может быть занисано как(/i *fi /2)(Р, g) = /^ ( ^ о (Л ® /2)) (р, q),где бидифференциальный онератор J-" соответствует абелевому твисту [41]§5 Содерлсание диссертацииВ данной диссертации рассматривается проблема построения (квантовых)твистов и их квазиклассических аналогов в нределе g —> 1, когда в качестве квантовой алгебры Хопфа Н берется квантование алгебры нетель SITIMСреди возможных квантований такие известные квантовые алгебры как Янгиан Y{sln) и Uq{$ln), имеющие непосредственное отношение к квантовыминтегрируемым моделям Кроме того, всякий твист J^ в U{Q) онределен идля Y{Q) D U{Q) И ведет к деформированным Янгианам 1^(0) [28, 36]

Эту связь между различными классами г—матриц можно нроследить науровне соответствуюш,их квантовых твистов А именно, квазиклассическиетвисты можно рассматривать как нредельные случаи квантовых когда q -^ 1

Б Главе 1 мы рассматриваем случай жордановых твистов и их д—аналогов,мы показываем, что д—аналоги могут быть естественно определены для жордановых твистов сконструированных в [22, 32] и являются кограничнымитвистами, то есть представимыми в форме:18Также мы обсуждаем вычисление предела g —> 1 и его корректное определение

Одной из мотиваций для изучения квантовых твистов было то, что многие вычислительные нроблемы встречающиеся при построении твистов [32],такие как необходимость каждый раз анализировать возникающие деформированные коумпожения и использовать формулу Кемпбелла-Хаусдорфа длянепосредственной проверки (7), могут быть разрешены, когда мы работаем сквантовыми алгебрами вроде ^/д(0)[И] вместо классических Таким образом,квантовые твисты - это источник универсальных деформационных формулв терминологии [22]

Л—матрицы и твисты могут рассматриваться с точки зрения некоммутативной геометрии Так с матричными решениями уравнения Янга-Бакстераможно связать соответствующие прострапства ковариантные относительнокодействия квантовой группы [23] В связи с тем, что некоммутативная геометрия является также самостоятельным источником твистов в Главе 1 мытакже рассматриваем вопрос о приложении д—твистов к построению д—аналогатвиста встречающегося в некоммутативной геометрии А Конна [7], которыйтесно связан со скобками Ранкина-Коэна для модулярных форм веса к и I

Напомпим что модулярная форма веса к преобразуется под действием модулярной группы PSL2{^)i дискретной группы дробно-линейных преобразований, следующим образом:) = {CZ + d)4(z), где д =Скобки Ранкипа-Коэна могут быть получены из P

Заключение:

Квантование квазиклассических твистов, определяющих универсальные TZ—

матрицы для расширенных жордановых и параболических г—матриц, мо жет рассматриваться как продолжение на случай твистов связи, наблюда емой между антисимметричными и модифицированными г—^матрицами по средством контракции Так во Введении §5 отмечалось, что обобщенные жор даноБы г—матрицы нолучаются при помощи контракции из модифицирован ных г—матриц типа Крем-мера-Жерве:

i
С другой стороны, исследуя квантование г—матриц Креммера-Жерве можно

сконструировать непосредственно твист J^cG^ определяющий универсальную

7^—мат-рицу, соответствуюн1ую следующему матричному решению уравне ния Янга-Бакстера [24, 34]:

- 1) (Е22 0 ?"11 + ?^ 33 ® Е22) + { )

^ ) ^^ Е32),

Тогда на уровне твистов для [/^ (зГз) существует связь:

-^enJORD такой ЧТО:

И J^p задает нараболический твист из [38] Заметим, что нри таком нодхо де аффинизация нри номощи элемента U2 не была иснользована, и элемент

Ws конструируется ad hoc Для ностроения J^p нам с самого начала необхо димо знать выражение для TCGZ-» ЧТО В ВЫСШИХ размерностях нредставляет

большую трудность Иснользование элемента ш^ и неаффинного TCGZ — ^ 2

в Утверждении 10, нозволило избежать неносредственного ностроения тви ста Тсв^ и нривело естественным образом к его аффиннизированому вари анту Ф, благодаря возможности вложить твист Креммера-Жерве из

в Uq{siz)' Можно нредноложить, что в дальнейшем, найдя ш^ G f

можно нродолжить этот индуктивный нроцесс и от возникшего аффинно ГО твиста Креммера-Жерве в Uq{slz) нерейти к неаффинному в Uq{5\^ и,

ВЛОЖИВ его тождественно в Uq{5i^, ностроить аффинный твист Креммера Жерве иснользуя 6J4, который нредноложительно должен оказаться вложени ем неаффинного твиста Креммера-Жерве из Uq{sib) и так далее Таким сно собом мы сможем сконструировать индуктивно все твисты Креммера-Жерве

в высших размерностях нри условии, если мы раснолагаем выражениями для

Шп, нараллельно мы должны также нолучать Т^ Хотя мы нроследили эти

закономерности внлоть до 5^, мы надеемся нолучить явные формулы для

всех Un в дальнеших нубликациях При ностроении квантовых твистов мы исходили из квантования Дрипфельда-Джимбо Uq{Q), даже пример кванто вания алгебры Конна-Московичи Н'ц нриводит к нодалгебре Хонфа в Uq{Q)

Ti'iq можно рассмотривать и как подалгебру в д—квантовании Янгиана [45],

поэтому естественно задаться вонросом какие тины алгебр Хопфа можно ис нользовать для нолучения новых твистов для классических универсальных

обертывающих алгебр нредельным переходом их сооветствующих квантовых

алгебр и твистов для них

Чтобы дать наглядную иллюстрацию, рассмотрим абелеву алгебру Хонфа

[В, Е] = О, А{В) = В®1-\-1®В, А{Е) = Е®1-{-1®Е

Элемент J^ = ехр(А А®Е) задает абелев твист, который некограничный Од нако, мы можем подобрать такое расширение U{M?), что Т может быть по лучен нредельным переходом из некоторого кограничного твиста J^ в

Положим ЩЕ?) := U{R^) 0 {А}, где
[А, В] = [А, Е] = О, А(А) =
Тогда
^) = ехр(Л А®Е), W ^ ехр( ^ А)

Скачивание файла!

Для скачивания файла вам нужно ввести
E-Mail: 5767
Пароль: 5767
Скачать файл.