Справка: Коссовский, Илья Григорьевич. Оболочки голоморфности модельных многообразий : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.01 / Коссовский Илья Григорьевич; [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова] Москва, 2007 108 c. : 61 07-1/1297
Объем: 108 стр.
Информация: Москва, 2007
Содержание:
Глава 1Модельные многообразия с цилиндрическимиоболочками голоморфности и феномен жесткости
11 Построение оболочки голоморфиости кубики
12 Феиомеп жесткости для кубик
13 Оболочки голоморфиости модельиых многообразийнорядка с отражением
14 Феиомеи жесткости моделей норядка с отражением
Глава 2Оболочки голоморфности модельныхмногообр?1зий тина (1,4)
21 Оболочка голоморфности S^ — симметричной модели тина (1,4)
22 Груина автоморфизмов области DQ И однородные многообразияв С^
23 Оболочки голоморфиости моделей тина (1,4) общего вида 96Снисок литературы
Введение:
Одним из основных объектов рассмотрения современного многомерногокомнлексного анализа являются вещественные нодмногообразиякомплексного пространства. Самая маломерная ситуация, когда онивозникают - это ситуация кривой в С^ Наличие такого объектаиллюстрирует более богатую, но сравнению с вещественной нрямой,геометрию комплексной нлоскости. Это обстоятельство во многомявилось основой для ностроения одной из красивейших и важнейшихматематических теорий - теории функций одного комнлекспогонеремепного, которая вся, в определенном смысле, является следствиемодного факта - теоремы Кошн об интеграле по контуру. Теория функциймногих комплексных перемепных, в свою очередь, коренным образомотличается от теории функций одного комплекспого переменного, какно методам исследования, так и но самой постановке задач, и причииойэтого является именно более богатая геометрия нространств С" прип > 1 по сравнению с геометрией С^, в частности - наличие большогоколичества подмногообразий, как вещественных, так и комплексных,крайпе разнообразных по своим тонологическим свойствам и посвоей комплексной дифференциальной геометрии. Такое разнообразиеобъектов, населяющих комплексное нространство, обуславливаетсовершенно новые интересные свойства аналитических функций патаком пространстве. К примеру, наличие аналитических дисков нриводитк эффекту обязательного аналитического продолжения [23]; наличиегинерповерхностей с различными Ci^-структурами приводит к эффектуголоморфной неэквивалентности двух ночти любых топологическитривиальных областей [31], [29]; наличие аналитических подмпожествположительной размерпости делает невозможным существованиеизолированных нулей голоморфных функций [23].Веш,ественные нодмногообразия комнлексного пространства возникаютв многомерном комплекспом апализе самым естественным образом,нрежде всего - как тонологические границы областей в С^. Такиемногообразия - вещественные гиперповерхности в С ^ - впервые изучалисьеще Пуанкаре [36] для случая N = 2. Ему припадлежит рядрезультатов о классификации гиперповерхпостей и о строепии группыих голоморфных симметрии. Кроме того, гинерноверхности играютисключительно важную роль нри изучении голоморфных функцийи отображений в самой ограниченной ими области. Имеется рядформул, аналогичных интегральной формуле Коши в одном неременном,выражающих значения аналитической функции в области через ееграничные значения [23]. Имеется также ряд результатов (см., нанример,работы Феффермана[32], Пинчука[17], Витушкипа[7]) о продолжепиибиголоморфных отображний между областями на границы областейи в окрестности их замыканий, что сводит проблему голоморфнойэквивалентности таких областей к нроблеме голоморфной эквивалентностиих границ. Эти результаты, вкуне со стремлением изучить вещественныегиперноверхности с дифференциально-геометрической точки зрения (см.,например, работы Тапаки [37], Черпа и Мозера[31]), послужили источникомбольшого числа работ но геометрии гиперповерхпостей и проблемам ихклассификации.Вещественные нодмногообразия более высокой коразмерностивозникают в многомерном комплексном апализе, прежде всего, как остовы(Шиловские границы) областей и как орбиты действия вещественных4грунп Ли в С^. Например, остов полидиска в С ^ - это iV-мерный тор, аостов области Зигеля 2-го рода [18] в С""*"'^ - это вещественная квадрикакоразмерности к. Также квадрики возникают как орбиты действия в С"''"'^вещественных групп Ли, являющихся мпогомернымн аналогами группыГейзенберга (см.ниже). Именно подмпогообразиям высокой коразмерностипосвящена настоящая диссертация.Впервые тематика, послужившая основой для данного исследования,была затронута в вышеупомяпутой работе Пуанкаре. Основной объектрассмотрения в этой работе - росток трехмерного многообразия в С^.Изучался вопрос о биголоморфной эквивалентности двух таких ростков,о возможном строении локальной группы голоморфных автоморфизмовростка и о поиске ростка с самой богатой группой автоморфизмовв классе невырождеппых ростков. Таким ростком оказался ростоктрехмерной сферы, причем группа голоморфных автоморфизмов этогоростка совпала с группой автоморфизмов сферы. Сфера выступила,таким образом, в качестве своего рода модельпого мпогообразия в классемногообразий рассмотренного внда. Работа Пуанкаре послужила одпимиз основных идейных источников в локальной теории вещественныхнодмногообразий комплексного пространства, в частности, задача опахождеиии "хорошей" модельпой поверхности нолучила свое дальнейшееестественное обобщение. Чтобы онисать соответствуюшую конструкцию,остановимся на ряде основонолагающих понятий теории веществепныхнодмногообразий комнлексного нространства.Если гладкое вещественное многообразие М номестить в комплекспоепространство С^, то между гладкой структурой мпогообразияи комплекспой структурой объемлющего прострапства возпикаетопределеппое взаимодействие. Такое взаимодействие в каждой точкер характеризуется, прежде всего, попятием комплексной касательнойплоскости к М в точке р. Комнлекспая касательпая плоскость - это5максимальное комплексное подпрострапство Т^М С С^, вложенноев вещественное касательное пространство ТрМ. Ее размерностьназывается СR-размерностью М, или комплексной размерностью.Если CR-размерность многообразия постояппа в каждой точке, то ононазывается СR-мпогообразием. Типом СЯ-многообразия называетсянара чисел (п. А;), где к - вещественная коразмерность М, а, п - CRразмергюсть М. Тин - это нервый биголоморфный инвариант, которыйвозникает в задаче о локальной биголоморфпой эквивалентности двухС/2-многообразий. (7^?-многообразие называется порождающим, есликомплексная линейная оболочка его касательпого пространства ТрМ вкаждой точке совпадает со всем объемлющим пространством. Это условиеозпачает, что п i- к = N - размерности объемлющего нространства.Последнее можно охарактеризовать еще так: градиенты функций, условиеобращение в нуль которых задает наше многообразие, должны бытьлинейно независимы над Условие того, что многообразие являетсяпорождающим, есть условие общего ноложения. Иснользуя теорему онеявной функции, росток порождающего мпогообразия типа (п, к) можноносле нодходящей биголоморфной замены координат занисать в следующейформе:Imw = Fz,'z,Rew), (1)где Z е C^,w е C^,F - гладкое отображение окрестности началакоординат в нространство Ш!', F(0) = О, dF0) = 0. Такая форма записионределяющих уравнений ростка называется стандартной.
Если М - гиперповерхпость, то нетрудно нредъявить для ростка Мбиголоморфный инвариант на уровне 2-струи. Это - ранг так называемойформы Леей гиперноверхности[23], которую можно охарактеризоватькак эрмитову форму с матрицей Fzi, если уравнение М занисапов стандартной форме (1). Форму Леви можно также выразить вбтерминах коммутатора векторных полей со значениями в комплекснойкасательной нлоскости [22]. Обобщение такого инварианта на многообразиянроизвольной коразмерности нриводит к нонятию алгебры Леви-Танакимногообразия, которая определяется так. Обозначим через L^ линейноенространство векторных полей, зпачения которых в каждой точкепринадлежат комплексной касательпой плоскости к мпогообразию.
Другой важный объект в локальной теории вещественныхнодмногообразий комплекспого пространства - это локальпая группаголоморфных симметрии ростка. Чтобы определить ее, вводится понятие7алгебры инфинитезимальных автоморфизмов ростка вещественногонодмногообразия М С С^ с центром в точке р. Последняя нредставляетиз себя алгебру Ли д ростков голоморфных векторных нолей, касательныхк данному многообразию М, т.е. полей видагде fjz) - ростки голоморфных в окрестности точки р функций,с донолнительным условием касания многообразия М в каждой еготочке. В качестве бинарной онерации но-нрежнему выстунает скобкавекторных нолей. Образ алгебры д нри экспоненциальном отображениибудет нредставлять из себя подмножество G в группе Diffp(M)диффеоморфизмов ростка многообразия М, заданных в окрестноститочки р, а в силу голоморфности ^ - компонент векторных нолей изд все диффеоморфизмы из G будут голоморфными преобразованиями.
Если алгебра д конечномерна, то множество G, естественным образомнаделенное структурой локальной грунпы Ли (см. [10], [15]), и называетсялокальной группой голоморфных автоморфизмов ростка. При этом всеоднонараметрические группы преобразований, принадлежащие G, будутодномерными подгрунпами Ли этой группы. Касательная алгебра грунныG будет изоморфна д, соответственно, размерность группы G будетравна размерности алгебры д (исходя из этого свойства, про ростокМ с бесконечномерной алгеброй инфинитезимальных автоморфизмовговорят иногда, что М обладает бесконечномерной группой голоморфныхавтоморфизмов, нодразумевая нри этом бесконечномерность алгебрыд). Группа G обладает естественным действием на многообразии М. Стабилизатор центра ростка относительно этого действия называетсягруппой стабильности ростка, или стабилизатором. Стабилизатор будетпредставлять из себя подгруппу Ли локальной грунны Ли G. Егокасательная алгебра будет изоморфна нодалгебре алгебры д, состоящей8из нолей, обращающихся в нуль в центре ростка. Если рассматриваемоедействие транзитивно, то многообразие М называется голоморфнооднородным.
Перейдем тенерь неносредственно к онисанню нонятия модельногомногообразия. Это понятие было введено В.Белошанкой (см. [1]).
Коротко говоря, модельные многообразия - это внолне невырожденныевещественные алгебраические многообразия, ростки которых вонределенном смысле аннроксимируют всякий другой внолненевырожденный росток и которые обладают набором свойств "хорошеймодельной поверхности", в том же смысле, в котором трехмерная сфера,согласно Пуанкаре, явилась "хорошей модельной новерхностью" длякласса внолне невырожденных гинерповерхностей в С^.
2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов квадрикиобщего положения - это копечпомерпая группа Ли; критериемконечпомерности группы голоморфных автоморфизмов квадрики являетсяее невырожденность.
4. Полиномиальпость алгебры: Алгебра инфинитезимальиыхавтоморфизмов квадрики - это некоторая алгебра полипомиальныхвекторных нолей, стенепи коэффициептов которых не превосходят 2.
Ъ. Рациональность группы: Локальная группа голоморфныхавтоморфизмов ростка невырожденной квадрики совпадает сконечномерной групной Ли голоморфпых автоморфизмов квадрики,причем последняя представляет собой подгруппу группы бирациопальныхнреобразований С""'"'^ , для которых степеип числителя и знаменателяограничены некоторой константой.
106. Симметричность: Размерность локальной группы голоморфныхавтоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием к <п^ не превосходит размерности группы голоморфпых автоморфизмовего касательной квадрики, более того, стабилизатор центра росткавкладывается как нодгрунпа Ли в стабилизатор начала координатв группе квадрики [5]; алгебра инфинитезимальных автоморфизмовквадрики нараметризует семейство биголоморфных отображений одногоневырожденного ростка в другой.
7. Биголоморфная инвариантность: Если два ростка биголоморфноэквивалентны, то эквивалентпы и их касательпые квадрики; если двеквадрики биголоморфно эквивалентны, то они эквивалентны и линейно.
8. Групповая структура: Квадрика обладает естественной структуройгрунпы Ли.
Отметим, что трехмерпая сфера, выступавшая у Пуапкаре какмодельная поверхность, обладает голоморфпой реализацией тинаквадрики: Imw = . (5)Алгебре д+ соответствует нодгрупна G+ нелинейных автоморфизмовквадрики, сохраняющих начало координат. Структура этой подгруннытакже существенно зависит от квадрики (но тем же нричинам, чтои структура нодгрунны Go). Квадрики, для которых эта нодгруннатривиальна, называются снсесткими. Нанример, квадрика общегоположения нри 2 < к 0.Длина алгебры Леви-Танаки для кубики равна 3. Также как и квадрика,кубика обладает набором свойств "хорошего" модельного многообразия [3].Перечислим их.1. Универсальность: Росток всякого внолне невырожденногомногообразия тина (п, к) нри v? <к <п^{п + 2) эквивалентен ростку вида(6).2. Конечномерность: Грунпа голоморфных автоморфизмов кубикиобщего ноложения - это конечномерная грунна Ли; критериемконечномерности грунны голоморфных автоморфизмов кубики являетсяее невырожденность.3. Однородность: Всякая кубика является голоморфно однороднойноверхностью, однородность обеспечивается квадратично-треугольными14преобразованиями.4. Полиномиалъностъ алгебры: Алгебра иифииитезимальпыхавтоморфизмов кубики - это иекоторая алгебра полииомиальиыхвекториых полей, степеии коэффициептов которых ие превосходят5.5. Рациональность группы: Локальиая группа голоморфпыхавтоморфизмов ростка певырождеппой кубики совпадает с копечпомерпойгруппой Ли голоморфиых автоморфизмов кубики, причем последняяпредставляет собой подгруппу группы бирациопальиых преобразованийС"''"'^ , для которых степепи числителя и зпамеиателя ограиичеиы некоторойконстантой.6. Симметричность: Размерность локальной группы голоморфныхавтоморфизмов всякого внолне невырожденного ростка с условиемп? < к X^W2, W3 -^ Х^гпз, Л G Е + (11)Алгебре д+ = gi + д2 + дз-^д4 + дб соответствует группа G+ пелипейныхавтоморфизмов кубики, сохраняющих иачало координат. Тривиальностьэтой подгруппы для всякой невырожденной кубики [жесткость кубики)является одним из осиовных результатов настоящей диссертации.ПоверхностьIm W2 = {z, 1)Im wz = 2Re {z, z, t)называется касательной модельной поверхностью порядка 4 или, короче,касательной моделью порядка 4 ростка вида (12) (вообще, порядком моделиназывается наибольший вес многочленов в ее уравнениях; он совнадает сдлиной алгебры Левн-Танаки модели). Условие нолной невырожденностиростка совнадает с условием невырожденности модели - линейнойнезависимости координатных форм Re(F22(z, г,^,г) + F^i{z,z,z,'z)).
Размерность линейного нространства таких многочленов равна п^{п +18l)(7n + 11)/12, поэтому невырожденные модельные поверхности порядка4 существуют в спектре коразмерностей п^(п + 2) < А: < п^(п + 2) + n^(n +1)(7п + 11)/12. Отметим также, что наборы (г, Г) И Re (г, 2,2) образуютбазисы нространств форм соотствующих бистененей, поэтому такие паборыможпо считать фиксированными с точностью до вещественно-линейнойзамены но W2,wz.
Свойства модели порядка 4 как "хорошей" модели полпостьюаналогичпы соответствующим свойствам 1-8 для квадрики и кубики.
Подалгебре^- = ^-4+5'-з+^-2+Р-1 соответствует подгруппа G- группыG голоморфпых автоморфизмов модели, эта подгруппа обеспечиваетголоморфпую одпородпость М. Соответствующие автоморфизмы имеютвид, апалогичпый автоморфизмам квадрики и кубики (4), (10):где р G С", (02,03,04) G ]R'^ ,/?j-i - подходящие липейпые отображепия,Pj-1-полшюмы степепи j — 1, j = 2,3,4 (причем pj-i,Pj-i полиномиальнозависят от р). Размерность этой грунны равна размерности многообразияМ и саму эту грунну можно, легко видеть, с М отождествить.
Вполне невырожденным росткам с алгеброй Леви-Танаки нроизвольнойдлины d > 4 соответствуют нолиномиальные модели более высокихпорядков. Процедура построепия этих моделей вполпе аналогичнапроцедуре построения моделей порядков 2,3 и 4, уравпепия моделибудут выглядеть похожим образом, с той лишь разницей, что нраваячасть в общем случае будет зависеть от и = Rew. Соответствующаяконструкция подробно описана в [6]. Отметим замечательное свойствоэтой конструкции: она позволяет, в силу свойства симметричпости 6в наборе свойств 1-8 модельпых многообразий, оценить размерностьлокальной группы голоморфных автоморфизмов нроизволыюго вполненевырожденного ростка через размерность группы автоморфизмовмодельного многообразия, т.е. сводит такую оценку к исследованиюсистемы линейных уравнений - условий касания.
С модельными многообразиями связано множество различныхзадач: задача о классификации моделей заданного тина; задача овычислении алгебры автоморфизмов модели или о возможных оценках паразмерность этой алгебры; задача о ностроении системы биголоморфныхинвариантов вполне невырожденного ростка, связанных с его модельнойноверхностью; задача о расностранении свойства симметричностимодельпых многообразий на более широкий, по сравнению с классомвполне невырожденных, класс ростков; задача о структуре и свойствахпространства модулей модельных многообразий данного тина и множестводругих задач [1]. Данная диссертация посвящена решению следующих двухмалоисследованных задач: задаче о структуре оболочек голоморфностимоделей высших норядков (т.е. моделей порядка >2) и задаче о жесткоститаких моделей.
21Первая задача была ноставлена В.Белошанкой в [1]. Поводом для неепослужили следующие соображения. Как было ноказано в [35], оболочкаголоморфности невырожденной квадрики нредставляет собой следуюшуюобласть:: Imw - {z,z) G У},щеУ = int(conv{(2,2)}),нричем конус V всегда ненустой. При этом, если квадрика ноложительиоонределена (т.е. существует положительно определенная линейнаякомбинация комнонент формы (z^'z)), то нетрудно осуществитьвещественно-линейную замену координат но w, после которойвсе координатные формы (г, Г)-' будут ноложителыю определены.Соответственно, конус V будет содержаться в нервом координатномоктанте и будет острым (т.е. не будет содержать целой прямой). В этомслучае оболочка голоморфности квадрики будет представлять собой вподходящей системе координат область Зигеля второго рода, отнесеннуюк конусу V и эрмитовой вектор-форме (2,2). Такая область всегда будетобластью ограниченного вида (т.е. областью, биголоморфпо эквивалентнойограничеиной), причем отображепие па ограпиченную область будетдробно-липейиым. Голоморфная однородность этой области нри этомопределяется аффинной однородностью конуса У(см. [34]). Если жеквадрика, напротив, является знаконеонределенной (т.е. не существуетположительно определенной линейной комбинации компопепт формы(г,Г)), ТО копус V острым быть ие может, т.к. всякий острый копусможпо липейпым преобразовапием поместить в первый координатныйоктант [18], что означало бы ноложительную определенность квадрики.Поэтому такой копус обязан содержать целую прямую, а зпачит, в силуего выпуклости, и двумерную полуплоскость. Поэтому после подходящейвещественпо-липейпой замепы коордииат по w оболочка голоморфностиквадрики становится цилиндрической по части переменных областью.22Такая область в силу того, что содержит комплексные прямые, не будетобластью ограниченного вида (что легко следует из теоремы Лиувилля).Про однородность такой области ничего определеппого сказать пельзя.В связи с этим иптересеп следующий вопрос: что будут собойпредставлять оболочки голоморфности модельных новерхностейболее высокого порядка? Какие оболочки голоморфности окажутсяцилиндрическими (соответственно, слоящимися на комплексные нрямые),а какие нет? Дадут лн пецилиндрические оболочки голоморфиостииитереспые примеры ограпичеипых (ограпичениого вида) и (или)однородных областей? Решению этой задачи для различных классовмодельных многообразий посвящепа бо'льшая часть результатов настоящейдиссертации. При этом основной метод, иснользующийся при построепияоболочек голоморфиости - это метод подклейки аналитических дисков.Аналитический диск - это образ ограниченной области G С С^ приголоморфном отображении G -^ С^, иепрерывном внлоть до границы.Цеиность этого понятия для ностроения оболочек голоморфностииллюстрирует так называемый принцип непрерывпости[2^\, которыйгласит, что если задаиа последовательпость аналитических дисковDn, сходящихся равномерно (в смысле задающих их отображений) кнекоторому диску D, причем все Dn, а также граница нредельного дискаD прииадлежат некоторой области U С С^, то все голоморфные в областии функции продолжаются в некоторую окрестность всего предельиогодиска D.Задача о эюесткости моделей высших норядков, т.е. об отсутствиив группе их голоморфпых автоморфизмов подгруппы пелипейныхавтоморфизмов, сохраняющих начало координат, является другойважиой задачей, обсуждаемой в настоящей диссертации. Поводомдля ее постановки послужил тот факт, что до сих нор среди всехиследоваииых моделей высших порядков несмотря на множество усилий23в этом нанравлении не обнаружено многообразий с нетривиальнойгруппой нелинейных автоморфизмов, сохраняющих начало координат(см., нанример, работы [26], [19], [24]). В связи с этим возникла гипотеза ожесткости всех моделей высших порядков. В данной работе приводятсяважные и достаточно общие классы модельных многообразий, для которыхжесткость действительно имеет место. При этом интересно, что жесткостьво всех случаях явилась следствием результата о строении оболочекголоморфности многообразий рассматриеваемых классов. Строениеоболочки голоморфности одного из рассмотренных в диссертациимногообразий привело также к построению семейства многообразий вС^ с весьма интересными свойствами. Все это говорит о том, что задачаоб исследовании оболочки голоморфности многообразия имеет не толькосамостоятельный интерес, но и нриводит к весьма интересным смежнымрезультатам.Основные результаты диссертацииОсновной текст диссертации состоит из двух глав, разбитых на разделы.Первая глава посвящепа модельпым мпогообразиям с цилиндрическимиоболочками голоморфности и присущему им фепомепу жесткости.В таких обозначениях оболочка голоморфности произвольной кубикиМ будет выглядеть так:М = {{z,W2,ws) G С"+"^+"': 3mW2 » ZZ\(подразумевается матричпое перавепство) и представляет из себя, такимобразом, цилипдрическую по w^ область, основанием которой служитобласть Зигеля 2-го рода [18] в простраистве переменных z,W2. Отметим,что для "малой" кубики - кубики типа (1,2) - этот результат был полученв [2]. Доказательство теоремы в общем случае требует более сложныхрассуждений.